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[导读]升压拓扑结构在功率电子领域非常重要,但是电感值的选择并不总是像通常假设的那样简单。在dc-dc升压转换器中,所选电感值会影响输入电流纹波、输出电容大小和瞬态响应。选择正确的电感值有助于优化转换器尺寸与成本,并确保在所需的导通模式下工作。本文讲述的是在一定范围的输入电压下,计算电感...

升压拓扑结构在功率电子领域非常重要,但是电感值的选择并不总是像通常假设的那样简单。在 dc - dc 升压转换器中,所选电感值会影响输入电流纹波、输出电容大小和瞬态响应。选择正确的电感值有助于优化转换器尺寸与成本,并确保在所需的导通模式下工作。本文讲述的是在一定范围的输入电压下,计算电感值以维持所需纹波电流和所选导通模式的方法,并介绍了一种用于计算输入电压上限和下限模式边界的数学方法。
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导通模式


升压转换器的导通模式由相对于直流输入电流 (IIN) 的电感纹波电流峰峰值 (ΔIL) 的大小决定。这个比率可定义为电感纹波系数 (KRF)。电感越高,纹波电流和 KRF?就越低。

??(1) , 其中 ???(2)
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在连续导通模式 (CCM) 中,正常开关周期内,瞬时电感电流不会达到零 (图1)。因此,当 ΔIL?小于 IIN?的2倍或 KRF?<2时,CCM 维持不变。MOSFET 或二极管必须以 CCM 导通。这种模式通常适用于中等功率和高功率转换器,以最大限度地降低元件中电流的峰值和均方根值。当 KRF?> 2 且每个开关周期内都允许电感电流衰减到零时,会出现非连续导通模式 (DCM) (图2)。直到下一个开关周期开始前,电感电流保持为零,二极管和 MOSFET 都不导通。这一非导通时间即称为 tidle。DCM 可提供更低的电感值,并避免输出二极管反向恢复损耗。
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图1?– CCM 运行
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图2?– DCM 运行


当 KRF?= 2 时,转换器被认为处于临界导通模式 (CrCM) 或边界导通模式 (BCM)。在这种模式下,电感电流在周期结束时达到零,正如 MOSFET 会在下一周期开始时导通。对于需要一定范围输入电压 ( VIN)的应用,固定频率转换器通常在设计上能够在最大负载的情况下在指定 VIN?范围内,以所需要的单一导通模式 (CCM 或 DCM) 工作。随着负载减少,CCM 转换器最终将进入 DCM 工作。在给定 VIN?下,使导通模式发生变化的负载就是临界负载(ICRIT)。在给定 VIN?下,引发 CrCM / BCM 的电感值被称为临界电感(LCRIT),通常发生于最大负载的情况下。





纹波电流与 VIN


众所周知,当输入电压为输出电压 (VOUT) 的一半时,即占空比 (D) 为50%时 (图3),在连续导通模式下以固定输出电压工作的 DC-DC 升压转换器的电感纹波电流最大值就会出现。这可以通过数学方式来表示,即设置纹波电流相对于 D 的导数 (切线的斜率) 等于零,并对 D 求解。简单起见,假定转换器能效为100%。
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根据?
??(3)、??(4) 和???(5),
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并通过 CCM 或 CrCM 的电感伏秒平衡
??(6),
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则?
??(7).
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将导数设置为零, ??
??(8)
我们就能得出?
??(9). ?
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图3?– CCM 中的电感纹波电流





CCM 工作


为了选择 CCM 升压转换器的电感值 (L),需要选择最高 KRF?值,确保整个输入电压范围内都能够以 CCM 工作,并避免峰值电流受 MOSFET、二极管和输出电容影响。然后计算得出最小电感值。KRF?最高值通常选在0.3和0.6之间,但对于 CCM 可以高达2.0。如前所述,当 D = 0.5 时,出现纹波电流 ΔIL?最大值。那么,多少占空比的情况下会出现 KRF?最大值呢?我们可以通过派生方法来求得。

假设 η = 100%, 则?
??(10), ?
?
然后将(2)、(6)、(7) 和 (10) 代入(1) ,得出:
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?(11)??????????????????????????
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??(12). ?
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对 D 求解,可得
??(13).

D = 1 这一伪解可被忽略,因为它在稳态下实际上是不可能出现的 (对于升压转换器,占空比必须小于1.0)。因此,当 D =? 或 VIN?= ?VOUT?时的纹波因数 KRF?最高,如图4所示。使用同样的方法还能得出在同一点的最大值 LMIN、LCRIT?和 ICRIT
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图4?– 当 D =? 时 CCM 纹波系数 KRF?最高值

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对于 CCM 工作,最小电感值 (LMIN)应在最接近 ? VOUT?的实际工作输入电压 (VIN(CCM)) 下进行计算。根据应用的具体输入电压范围,VIN(CCM)?可能出现在最小 VIN、最大 VIN、或其间的某个位置。解方程 (5) 求 L,并根据 VIN(CCM)?下的 KRF?重新计算,可得出

??(14),其中 VIN(CCM)?为最接近?VOUT?的实际工作 VIN。??
???
对于临界电感与 VIN?和 I
OUT?的变化,KRF?= 2,可得出
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??(15).
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在给定 VIN?和 L 值的条件下,当 KRF?= 2时,即出现临界负载 (ICRIT):
?
??(16)
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DCM 工作?


如图5所示,在一定工作 VIN?和输出电流 (IOUT) 下的电感值小于 LCRIT?时,DCM 模式工作保持不变。对于 DCM 转换器,可选择最短的空闲时间以确保整个输入电压范围内均为 DCM 工作。tidle 最小值通常为开关周期的3%-5%,但可能会更长,代价是器件峰值电流升高。然后采用 tidle 最小值来计算最大电感值 (LMAX)。LMAX?必须低于 VIN?范围内的最低 LCRIT。对于给定的 VIN,电感值等于 LCRIT?(tidle= 0) 时引发 CrCM。
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图5?– LCRIT?与标准化 VIN?的变化

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为计算所选最小空闲时间 (tidle(min)) 的 LMAX,首先使用 DCM 伏秒平衡方程求出 tON(max)?(所允许的 MOSFET 导通时间最大值) 与 VIN?的函数,其中 tdis?为电感放电时间。
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??(17),其中

???(18)
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可得出
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??(19).
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平均 (直流) 电感电流等于转换器直流输入电流,通过重新排列 (17),可得出 tdis?相对于 tON?的函数。简单起见,我们将再次假设 PIN?= POUT
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??(20) ,其中??(21).
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将方程 (3)、(5)、(10)、(19) 和 (21) 代入 (20),求得 VIN?(DCM)?下的 L
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??(22).
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LMAX?遵循类似于 LCRIT?的曲线,且同在 VIN?= ?VOUT?时达到峰值。为确保最小 tidle,要计算与此工作点相反的实际工作输入电压 (VIN?(DCM)) 下的最低 LMAX?值。根据应用的实际输入电压范围,VIN(DCM)?将等于最小或最大工作 VIN。若整体输入电压范围高于或低于 ? VOUT(含? VOUT),则 VIN(DCM)?是距 ? VOUT?最远的输入电压。若输入电压范围覆盖到了 ? VOUT,则在最小和最大 VIN?处计算电感,并选择较低 (最差情况下) 的电感值。或者,以图表方式对 VIN?进行评估,以确定最差情况。
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输入电压模式边界?


当升压转换器的输出电流小于 ICRIT?与 VIN?的最大值时,如果输入电压增加到高于上限模式边界或下降到低于下限模式边界,即 IOUT?大于 ICRIT?时,则将引发 CCM 工作。而 DCM 工作则发生于两个 VIN?的模式边界之间,即 IOUT?小于 ICRIT?时。要想以图表方式呈现 VIN?下的这些导通模式边界,在相同图表中绘制临界负载 (使用所选电感器) 与输入电压和相关输出电流的变化曲线。然后在 X 轴上找到与两条曲线相交的两个 VIN?值 (图6)。
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图6?– 输入电压模式边界

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要想以代数方式呈现 VIN?的模式边界,首先将临界负载的表达式设置为等于相关输出电流,以查找交点:
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??(23).
?
这可以重写为一个三次方程,KCM?可通过常数计算得出
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??(24) ????其中

??(25).
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这里,三次方程通式 x3 ax2 bx c = 0 的三个解可通过三次方程的三角函数解法得出 [1] [2]。在此情况下,x1 项的“b”系数为零。我们将解定义为矢量 VMB
?
我们知道
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??(26)、 ?

????(27)、 ??以及

??(28),
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????(29).
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由于升压转换器的物理限制,任何 VMB?≤ 0或VMB?> VOUT?的解均可忽略。两个正解均为模式边界处 VIN?的有效值。
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模式边界 – 设计示例?


我们假设一个具有以下规格的 DCM 升压转换器:
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VOUT??= 12 V
IOUT??= 1 A
L ?= 6 μH
FSW??= 100 kHz
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首先,通过 (25) 和 (28) 计算得出 KCM?和 θ:
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.
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将 VOUT?和计算所得的 θ 值代入 (29),得出模式边界处的 VIN?值:
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.
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忽略伪解 (-3.36 V),我们在 4.95 V 和 10.40 V 得到两个输入电压模式边界。这些计算值与图7所示的交点相符。
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图7?– 计算得出的模式边界





结论?


电感值会影响升压转换器的诸多方面,若选择不当,可能会导致成本过高、尺寸过大、或性能不佳。通过了解电感值、纹波电流、占空比和导通模式之间的关系,设计人员就能够确保输入电压范围内的所需性能。
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参考文献?


[1]?H. W. Turnbull, Theory of Equations, Chapter IX, Edinburgh
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